En janvier 2020, Papadimitriou pensait au principe du pigeon depuis 30 ans. Il a donc été surpris lorsqu’une conversation ludique avec un collaborateur fréquent les a conduits à une simple touche du principe qu’ils n’avaient jamais envisagé: Et s’il y a moins de pigeons que de trous? Dans ce cas, tout arrangement de pigeons doit laisser des trous vides. Encore une fois, cela semble évident. Mais l’inversion du principe des pigeons a-t-il des conséquences mathématiques intéressantes?

Il peut sembler que ce principe de «pigon-pigon» soit juste l’original par un autre nom. Mais ce n’est pas le cas, et son caractère subtilement différent en a fait un nouvel outil fructueux pour classer les problèmes de calcul.

Pour comprendre le principe de pigge vide, revenons à l’exemple de la carte de banque, transposé d’un stade de football à une salle de concert avec 3 000 sièges – un nombre plus petit que les épingles totales à quatre chiffres possibles. Le principe de pigon vide dicte que certaines épingles possibles ne sont pas du tout représentées. Si vous voulez trouver une de ces épingles manquantes, cependant, il ne semble pas y avoir de meilleure façon que de simplement demander à chaque personne leur épingle. Jusqu’à présent, le principe vide-pigonhole est comme son homologue plus célèbre.

La différence réside dans la difficulté de vérifier les solutions. Imaginez que quelqu’un dit avoir trouvé deux personnes spécifiques dans le stade de football qui ont la même épingle. Dans ce cas, correspondant au scénario de pigeonnier d’origine, il existe un moyen simple de vérifier cette affirmation: vérifiez simplement avec les deux personnes en question. Mais dans l’affaire de la salle de concert, imaginez que quelqu’un affirme que personne n’a une broche de 5926. Ici, il est impossible de vérifier sans demander à tout le monde dans le public quel est son épingle. Cela rend le principe de pigon vide beaucoup plus vexant pour les théoriciens de la complexité.

Deux mois après que Papadimitriou ait commencé à réfléchir au principe du trou du pigon, il l’a évoqué dans une conversation avec un étudiant diplômé potentiel. Il s’en souvient de façon vivante, car cela s’est avéré être sa dernière conversation en personne avec quiconque avant les verrouillage Covid-19. Coupé à la maison au cours des mois suivants, il a lutté avec les implications du problème pour la théorie de la complexité. Finalement, lui et ses collègues ont publié un papier À propos des problèmes de recherche garantis d’avoir des solutions en raison du principe de pigon vide. Ils étaient particulièrement intéressés par les problèmes où les pigeons sont abondants – c’est-à-dire où ils sont de loin plus nombreux que les pigeons. Conformément à une tradition acronymes lourds Dans la théorie de la complexité, ils ont surnommé cette classe de problèmes APEPP, pour «un principe abondant polynomial vide-pigonhole».

L’un des problèmes de cette classe a été inspiré par un célèbre Preuve de 70 ans par l’informaticien pionnier Claude Shannon. Shannon a prouvé que la plupart des problèmes de calcul doivent être intrinsèquement difficiles à résoudre, en utilisant un argument qui reposait sur le principe de pigon vide (bien qu’il ne l’appelle pas ainsi). Pourtant, pendant des décennies, les informaticiens ont essayé et échoué à prouver que des problèmes spécifiques sont vraiment difficiles. Comme manquer des épingles de cartes de banque, des problèmes difficiles doivent être disponibles, même si nous ne pouvons pas les identifier.

Historiquement, les chercheurs n’ont pas pensé au processus de recherche de problèmes difficiles en tant que problème de recherche qui pourrait lui-même être analysé mathématiquement. L’approche de Papadimitriou, qui a regroupé ce processus avec d’autres problèmes de recherche connectés au principe du trou de pigon vide, avait une saveur auto-référentielle caractéristique de des travaux très récents Dans la théorie de la complexité – il a offert une nouvelle façon de raisonner sur la difficulté de prouver des difficultés informatiques.